Question

高数问题:x^4是x^a的高阶无穷小，所以4>a。而x^4+ax+2b可以是(x-1)(x+2)的同阶无穷小！？为什么，同阶...

高数问题:x^4是x^a的高阶无穷小，所以4>a。而x^4+ax+2b可以是(x-1)(x+2)的同阶无穷小！？为什么，同阶的意思不是x的幂数相等吗？如果我理解有错，请指教(最好详细些)谢了

Answer 1

应该是x→0时，x^4是x^a的高阶无穷小，所以4>a，无穷小指无线趋近于0，
x→0时，x^4+ax+2b=2b,(x-1)(x+2)=-2,所以可以同阶，
如果x→0时，两个式子都趋于0，这时同阶的意思是x的幂数相等

Answer 2

在没有指明x的趋性时谈论高阶、等价无穷下都是没有意义的，所以以后谈到无穷小的问题时，一定是要指明在x趋于哪个值时的无穷小。可以看出题目是x→0，所以下面以此讨论。

你对同阶无穷小的意思没有弄明白：当两个表达式在变量趋近某个值时（本题x→0）存在极限，且极限都是0，这两个表达式是在x→0时的无穷小。对这两个表达式求商，对商求x->0的极限，如果存在（不为无穷大）且不为零，那么这两个表达式是在x→0时的同阶无穷小。【如果商的极限是0，分子表达式是分母表达式是在x→0时的高阶无穷小；如果商的极限是1，那么分子表达式和分母表达式是在x→0时的等价无穷小。】

你的问题是有错误的。首先看x→0时，x^4+ax+2b为无穷小，那么必须有b=0，这个没错；(x-1)(x+2) → -2，可见(x-1)(x+2)并不是无穷小，那么就谈不上什么同阶无穷小了！

Answer 3

高阶无穷的概念是在两个式子分别看，没有极限的时候才用到，x^4+ax+2b本身有极限，而(x-1)(x+2)本身也有极限，根本不用高阶无穷