Question

用极限定义证明0为函数sin n/n的极限

Answer 1

证明：

对于任意的ε>0，取n=[1/ε]+1，则当n>n时，

|sin(1/n)|≤1/n<ε，

所以sin(1/n)的极限是0

扩展资料：

极限的产生与发展：

1，由来：

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用。

古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

2，发展：

极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。

16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题，开始人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破’只研究常量‘的传统范围，而寻找能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具，是促进’极限‘思维发展、建立微积分的社会背景。

3，完善：

极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。

对“变量”特有的概念理解还不十分清楚；对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解；对“有限”和“无限”的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯的处理常量数学的传统思想方法，思想僵化，就不能适应‘变量数学’的新发展。

Answer 2

- -定义，，，，。。。。。。
n→∞时可以证：
设有足够小u，则取t=1/u，
在n>t时可知原函数f（n)=sin n /n <1/n<u ，即对于任意小u，都存在t=1/u，使得n>t时，0<f（n）<u
所以极限为0。
n→0的时候这个用定义我不会- -。。。。。。。。。
这个可以用夹逼准则去证，但是定义。。。。。。。实在不会了。
（sinx）/x ,显然 ，在x→0时，sinx<x<tanx ,(x-sinx ，x-tanx，在x=0时均为0，且x∈[0，π/2)时，导数恒正或恒负），
所以 sinx/tanx<sinx/x<sinx/sinx ，
即 cosx<sinx/x<1
显然x→0时，cosx→1，所以x→0时，sinx/x→1