Question

求原函数

求ln（x+根号下(x^2+1))的原函数

Answer 1

根据定义微分与积分实际上是互为逆运算，即微分是已知原函数然后求导，
求不定积分是已知导数求原函数。然而求一个函数的导函数往往很好求，
求导甚至不需要知道具体的表达式（如隐函数的求导），但反过来
求不定积分，就不是那么容易了。所以一些基本函数与其导函数的转化关系
一定要熟，当已知导函数，立刻想到其原函数，问题便会迎刃而解。所以
导数与原函数的对应关系（即所谓的常用导数表或积分表），一定要熟。

根据原始的不定积分定义，求不定积分，就得熟知积分表，抛开它就
无法下手。

然而求导是可以根据定义来做的，比如已知lim{f(x+dx)-f(x)/dx}=2x,dx趋向0，根据导数定义，这句话就是要告诉我们f'(x)=2x,求它的原函数就得根据
简单的导数与其原函数的对应关系来求。因为f'(x)=(x^2+C)'=2x,所以
其原函数为f(x)=x^2+C

Answer 2

设x=tanb,则原题=ln(tanb+secb)dtanb=tanbln(tanb+secb)-tanbdln(tanb+secb)
tanbdln(tanb+secb)=(tanb)*((secb)(secb+tanb))/(secb+tanb)db=tanb*secbdb=dsecb
所以原题=tanbln(tanb+secb)-secb 然后再将表达式换成x的表达式
原函数=xln（x+根号下(x^2+1))-根号下(x^2+1)+c