Question

设f(x)是定义在R上的函数且对任意x,y属于R,恒有f(x+y)=f(x)f(y)，且x>0时，f(x)>1证明

（1）当f（0）=1,且x<0时，0<f（x）<1
（2）f（x）是R上的单调增函数

Answer 1

f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)，又因为f(1)>1，所以f(0)=1
对于任意的x<0，有1=f(0)=f(x+(-x))=f(x)(-x)，f(x)=1/f(-x)，又因为f(-x)>1，所以0<f(x)<1
对于任意的x1>x2，有f(x1)=f(x2+(x1-x2))=f(x2)f(x1-x2)
因为x1-x2>0，所以f(x1-x2)>1
有因为f(x)>0，所以f(x1)>f(x2)，为单调增函数

Answer 2

证明（1）当x<0时，-x>0,则f(-x)>1
∵f（0）=1
∴f（0）= f（-x+x）= f（-x）f（x）=1
∴f（x）=1/ f（-x）
∴0<f（x）<1
（2）当0<x1<x2时，设x2=kx1，显然k>1，f(k)>1
则f（x2）= f(kx1)= f(k)f(x1) > f(x1)
当x1≤0< x2时，则f（x2）>1,0≤f（x1）<1。
∴f（x2）> f(x1)成立
当x1<x2=0时，f（x2）= f（0）=1，0<f（x1）<1，∴f（x2）> f(x1)成立
当x1<x2<0时，设x1=kx2(k<-1)，则0<f（-1）<1
而0<f（x1）<1，0<f（x2）<1
∴f（x1）= f(kx2)= f(k)f(x2) < f(x2)
综上，f（x）是R上的单调增函数