Question

若函数f(x)和g(x)都是奇函数且F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5，则F（x）在（-∞，0）上（ ）

选项：A.有最小值-5 B.有最大值-5 C.有最小值-1 D.有最大值-3

Answer 1

f(x)和g(x)都是奇函数，则af(x)+bg(x)也是奇函数，令h(x)=af(x)+bg(x)，h(x)为奇函数。
则F(x)=h(x)+2
h(x)的图像是关于原点对称的，F(x)的图像是由h(x)的图像向上平移一个单位得到的
所以，F(x)的图像关于点(0,2)对称
假设F(x)在(0,+∞)上有最大值点为(m,5)，F(x)关于点(0,2)成中心对称
则根据对称性，可知F(x)在（-∞，0）上的最小值点为(-m,-1)。
所以，选C

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

追问

为什么f(x)和g(x)都是奇函数，则af(x)+bg(x)也是奇函数啊？

追答

h(x)=af(x)+bg(x)
则h(-x)=af(-x)+bg(-x)
因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以：f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)
所以：h(-x)=-af(x)-bg(x)=-h(x)
所以，h(x)=af(x)+bg(x)也是奇函数

注：奇函数±奇函数=奇函数；偶函数±偶函数=偶函数
ps：不好意思，上面的回答有个地方写错了，是“F(x)的图像是由h(x)的图像向上平移2个单位得到
的”，不是一个单位。

Answer 2

解：根据题意，f（x）=af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上存在最大值5，
即当x＞0时，有af（x）+bg（x）+2≤5，即af（x）+bg（x）≤3，
又由f（x），g（x）都是奇函数，则af（x）+bg（x）也为奇函数，
故当x＜0时，af（x）+bg（x）=-[af（-x）+bg（-x）]≥-3，
则当x＜0时，f（x）=af（x）+bg（x）+2≥-3+2=-1，
即f（x）在（-∞，0）上存在最小值-1，

Answer 3

因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)
所以F(-x)=af(-x)+bg(-x)+2=-af(x)-bg(x)+2
所以F(x)+F(-x)=af(x)+bg(x)+2-af(x)-bg(x)+2=4
令x≥0，那么-x≤0，且F(x)≥5，所以F(-x)=4-F(x)≤4-5=-1
即F(-x)≤-1，也即F(-x)有最小值-1，所以选C

追问

为什么F(x)+F(-x)=af(x)+bg(x)+2-af(x)-bg(x)+2=4，F(-x)=4-F(x)≤4-5=-1，所求出的F（-x）就是最小值呢？麻烦了。

追答

F(-x)=-af(x)-bg(x)+2，F(x)=af(x)+bg(x)+2
两式相加，就是F(-x)+F(x)=4，所以F(-x)=-F(x)+4
当x>0时，F(x)≥5，所以-F(x)≤-5，那么-F(x)+4≤-1
即F(-x)≤-1，而因为x>0，所以-x0时，F(-x)≤-1吗
那么你令t=-x，那么t<0，所以F(t)≤-1，即F(t)≤-1 (t<0)，所以选C)
希望讲清楚了……