Question

设x.y满足约束条件:x-y+2≥0，4x-y-4≤0，x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)

设x.y满足约束条件:x-y+2≥0,4x-y-4≤0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则以根3为底(1/a+2/b)的对数的最小值为

Answer 1

满足｛x-y+2≥0,4x-y-4≤0,x≥0,y≥0,

的可行域为一个四边形OABC及其内部

四边形顶点O(0,0),A(1,0),B(2,4),C(0,2)

目标函数z=ax+by(a>0,b>0)

取得最大值时，最优解为B(2,4)

∴zmax=2a+4b=6

∴a+2b=3

∴1/3(a+2b)=1

∴1/a+2/b=1/3*(1/a+2/b)*(a+2b)

  =1/3(1+4+2b/a+2a/b)

根据均值定理

 2b/a+2a/b≥2√(2b/a+2a/b)=4

  当a=b=1时，取等号

∴1/3(1+4+2b/a+2a/b)≥3

∴log₃(1/a+2/b)≥log₃3=1

即a=b=1时，log₃(1/a+2/b)取得最小值为1