Question

P是二面角α-l-β两个面外一点,PA⊥α于A，PB⊥β于B，∠APB=30°，二面角度数为？答案为150/30，求过程

Answer 1

由A作AO⊥l，连结BO，OP
由于PA⊥α于A，而OA,l包含于α
则PA⊥l
而AO⊥l
且AO∩PA=A
故l⊥面POA
而PA包含于面POA
故l⊥P0
由于PB⊥β于B
而l包含于β
故PB⊥l
而PB∩PO=P
故l⊥面POB于O
已证
故l⊥面POA于O
由于过一点有且只有一个平面垂直于一条直线，因此P O B A四点共面
且由于OA OB分别包含于面POA 面POB则
l⊥OA l⊥OB
AO∩OB=O
则∠AOB为二面角α-l-β的平面角
则有两种情况
1 P在二面角α-l-β内，则根据四边形内角和为360可知，∠APB+∠OBP+∠OAP+∠AOB=360°
而由垂直的定义知∠PAO=∠PBO=90° 故∠AOB=150°二面角α-l-β为150°
2 P在二面角α-l-β外，则这个二面角与1互为补角，只是B的位置不在二面角β的半面内，角度为180°-150°=30°

Answer 2