Question

一道关于连续函数有界性的高数题

证明：若函数f(x)在(a,+∞)连续，且lim<x→a+>f(x)=A与lim<x→+∞>f(x)=B，则f(x)在(a,+∞)有界。
求详细证明，谢谢

Answer 1

解：
u=f(t(x),s(x))
u'(x)=f'(t)×t'(x)+f'(s)×s'(x)
因为t位于f函数中第一个位置，所以一般设f'(t)=f'1
综合下来，就是你的第二行的等式；
实际就是复合函数求导
求二阶导，也是类似的

Answer 2

这个题根据函数有界的概念还是比较好证明的。
建议楼主去参照书上的例题去证明。

Answer 3

因为
lim(x→a+) f(x)=A
根据定义：
对去定的ε0=1，存在δ1>0，当x∈(a,a+δ1)，就有|f(x)-A|<1
lim(x→+∞) f(x)=B
根据定义：
对上述ε0=1，存在X>0，当x>X，就有|f(x)-B|<1
即有：
当x∈(a,a+δ1)，就有A-1<f(x)<A+1
当x>X，就有B-1<f(x)<B+1
再当x∈[a+δ1/2，X+1]，因为f(x)连续，在该闭区间内必有最大值M，最小值m

现在，针对(a,+∞)讨论：
明显有
取max=max{A+1,B+1,M}
取min=min{A-1,B-1,m}
必有：min≤f(x)≤max
因此，原命题成立~~

有不懂欢迎追问

追问

”再当x∈[a+δ1/2，X+1]，因为f(x)连续，在该闭区间内必有最大值M，最小值m“为什么要取a+δ1/2和X+1这两个点？为什么X+1就一定比a+δ1/2大？不用讨论a和X之间的大小关系吗？先谢谢了

追答

在这里其实取[a+δ1,X]也是可以的

主要思想就是将原区间分成3段，在每一段上都能取得上下界，再取出这6个数中的最大最小值，就能说明它们就是函数的界了

X+1肯定会比a+δ1/2大的
这个其实可以感觉得到（从定义来感觉）
如果实在感觉不到也不用怕，只需要对定义进行限定，就可以了

lim(x→a+) f(x)=A
根据定义：
对取定的ε0=1，存在|a|>δ1>0，当x∈(a,a+δ1)，就有|f(x)-A|2|a|>0，当x>X，就有|f(x)-B|<1

这样就能保证他们的大小关系了~~~~