Question

【高中数学】立体几何问题~~急求解在线等~！

在直二面角α-l-β内有线段AB，A∈平面α，B∈平面β，且AB与β平面β所成角是45°，如果AB在平面β内的射影与棱l所成角为45°，求AB与平面α所成的角

要详细过程、有图最好~我图画不出来....

Answer 1

如图所示，根据题意，作AC⊥l，BD⊥l，连接AD、BC，则AB与平面α所成的角就是∠BAD

因为α和β成直二面角，所以BD⊥AD，AC⊥BC，即∠ACB=90°，∠ADB=90°

因为AB平面β所成角是45°，即∠ABC=45°，AB在平面β内的射影与棱l所成角为45°，即∠BCD=45°

设BD＝CD＝a，则AC＝BC＝√2a，AB＝√2AC＝2a

所以sin∠BAD＝BD／AD＝1／2，即∠BAD＝30°

Answer 2

由α-l-β是直二面角，则平面α⊥平面β，
在平面α内作AC⊥l，垂足C，连接BC，
在平面β内作BD⊥l，垂足D，连接AD，
因平面α⊥平面β，AC⊥l,故AC⊥平面β，
则∠ABC就是AB与平面β所成角，即∠ABC=45º，
∴△ABC为等腰直角三角形。
不妨设AB=2，则BC=√2，
又BC是AB在平面β上的射影，
由条件知△ABD也为等腰直角三角形，
则BD=(√2/2)BC=1，
又∠BAD就是AB与平面α所成角，
且sin∠DAB=BD/AB=1/2，
∴∠DAB=30º，
即AB与平面α所成角为30º。