Question

已知函数f(x)=2^x/a+a/2^x为偶函数，求单调递增区间，并证明。

a=1或-1 在线急等！！！

Answer 1

∵f(x)是偶函数
∴f(-x)=f(x）
∴2^(-x)/a+a/2^(-x)=2^x/a+a/2^x
∴1/(a*2^x)+a*2^x=2^x/a+a/2^x
∴1/a(1/2^x-2^x)=a(1/2^x-2^x)
∴1/a=a,a²=1,a=1或a=-1

a=1时，f(x)=2^x+1/2^x
函数递增区间为[0,+∞)
任取0≤x1<x2
f(x1)-f(x2)
=2^x₁+1/2^x₁-2^x₂-1/2^x₂
=2^x₁-2^x₂+(2^x₂-2^x₁)/2^(x₁+x₂)
=(2^x₁-2^x₂)[1-1/2^(x₁+x₂)]
=2^x₁[1-2^(x₂-x₁)][(2^(x₁+x₂)-1]/2^(x₁+x₂)
∵0≤x1<x2,x₂-x₁>0,
∴1-2^(x₂-x₁)<0, 2^(x₁+x₂)>1,2^(x₁+x₂)-1>0

∴2^x₁[1-2^(x₂-x₁)][(2^(x₁+x₂)-1]/2^(x₁+x₂)<0

∴f(x)在[0,+∞)上为增函数

a=-1时，f(x)=-[2^x+1/2^x],
同上面一样可证
∴f(x)递增区间为(-∞,0]。