Question

定义在x>0的单调函数f（x），都有f（f（x）-log2x）=3，则f（x）-f'（x）=2的解所

在区间是多少

Answer 1

因为是单调的，所以f(x)=3只能有一个解，设为a, 即f(a)=3
所以f（f（x）-log2x）=3得：f(x)-log2(x)=a
得f(x)=log2(x)+a
故f(a)=log2(a)+a=3
因为log2(a)+a是关于a单调增的函数，所以上式也只能有一个解。
而a=2时显然为上式的解，因此得a=2.
故f(x)=log2(x)+2

f'(x)=1/(xln2)
f(x)-f'(x)=2即为： log2(x)+2-1/(xln2)=2
得：lnx=1/x
记g(x)=lnx-1/x,
g'(x)=1/x+1/x^2>0, 单调增，g(x)=0至多有一个根
g(1)=-1<0
g(2)=ln2-1/2>0
因此根在(1,2)