Question

如图,在平面直角坐标系中,已知点A,B,C的坐标分别为(-1,0)(5,0)(0,2)

（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；
①求S与t的函数关系式；
②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？
（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），C（0，2）三点代入解析式得：
a-b+c=025a+5b+c=0c=2
，解得

a=-
25b=
85c=2

；

∴y=-
2
5
x2+

8
5
x+2；（3分）

（法二）设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴a=-
2
5
；

∴y=-
2
5
(x+1)(x-5)，

即y=-
2
5
x2+

8
5
x+2；（3分）

（2）①过点F作FD⊥x轴于D，
当点P在原点左侧时，BP=6-t，OP=1-t；
在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，
∵∠FPD+∠CPO=90°，
∴∠PCO=∠FPD；
∵∠POC=∠FDP，
∴△CPO∽△PFD，（5分）
∴

FD
PO
=

PF
PC
；

∵PF=PE=2PC，
∴FD=2PO=2（1-t）；（6分）
∴S△PBF=

1
2
BP×DF=t2-7t+6（0≤t＜1）；（8分）

当点P在原点右侧时，OP=t-1，BP=6-t；
∵△CPO∽△PFD，（9分）
∴FD=2（t-1）；
∴S△PBF=

1
2
BP×DF=-t2+7t-6（1＜t＜6）；（11分）

②当0≤t＜1时，S=t2-7t+6；
此时t在t=3.5的左侧，S随t的增大而减小，则有：
当t=0时，Smax=0-7×0+6=6；
当1＜t＜6时，S=-t2+7t-6；
由于1＜3.5＜6，故当t=3.5时，Smax=-3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；
综上所述，当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25．

（3）能；（12分）
①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t-1，
由勾股定理易求得CP2=t2-2t+5，那
么PF2=（2CP）2=4（t2-2t+5）；
在Rt△PFB中，FD⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5，
而PB的另一个表达式为：PB=6-t，
联立两式可得t2-2t+5=6-t，即t=

1+5
2
，P点坐标为（

5-1
2
，0），则F点坐标为：（

5+7
2
，

5
-1）；

②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2，
P点坐标为（1，0）．FD=2（t-1）=2，
则F点坐标为（5，2）．（14分）

Answer 2

（1）设y=ax²+bx+c
a-5b+c=0
a25+5b+c=0
a*0+b*0+c=2
解得：
a=-0.4
b=1.6
c=2
此抛物线的解析式：y=-0.4x²+1.6x+2
（2）
①
当0<=t<1,S=(1-t)(6-t);
当1<=t<=6,S=(t-1)(6-t);
②当t=3.5时，S最大=25/4
（3）△PBF不能成为直角三角形，否则三角形不存在。