Question

已知方程x^2+bx+c=0及x^2+cx+b=0分别各有两个整数根x1y1及x2y2且x1y1>

已知方程x^2+bx+c=0及x^2+cx+b=0分别各有两个整数根x1y1及x2y2且x1y1>0，x2y2>0
（1）求证：x1.y1.x2.y2均小于0
（2）求证：b-1≤c≤b+1
（3）求b.c所有可能的值

Answer 1

(1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，
此时，-b=x1+x2>0,所以，b<0,与b=x1'x2'>0矛盾，所以，x1<0
x2<0,同理可证，x1'<0,x2'<0

(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理
c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1
=(x1＋1)(x2+1)≥0，
所以 c≥b-1．
同理有:
b-(c-1)=x1'x2'+x1'+x2'+1
=(x1'+1)(x2'+1)>=0
所以 c≤b+1，
所以 b-1≤c≤b+1．

(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：
(i)c=b＋1．由韦达定理知:
x1x2=-(x1＋x2)＋1，
所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，
解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．
(ii)c=b．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)，
所以 (x1+1)(x2＋1)=1，
所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．
(iii)c=b-1．由韦达定理知
-(x1'+x2')=x1'x2'-1
解得：x1'+x2'=-5,x1'x2'=6,即：b=6,c=5
综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．

望采纳，，谢谢O(∩_∩)O～

Answer 2

(1)韦达定理b>0，c>0

Answer 3

徘徊在AC之间的这群B们。