Question

有关平行四边形面积的问题。

一个平行四边形底与高均为4，那么面积为16，将底减少1高增加1，面积为15，两次面积之差为（16-15=1）1，将底减少2高增加2，面积为12，与上次面积之差为15-12=3，将底减少3高增加3，面积为7，与上次面积之差为12-7=5.....由此可得一个奇数列1,3,5。
那么是否所有的等底等高的平行四边形按照以上方法都可以得到一个奇数列？如底与高均为6,7,8,9.......n（求详细证明过程）

Answer 1

证明：①平行四边形的底与高均为6时，面积为36；底减少1高增加1，面积为35，差为1；底减少2高增加2，面积为32，差为3；底减少3高增加3，面积为27，差为5；……
②平行四边形的底与高均为7时，面积为49；底减少1高增加1，面积为48，差为1；底减少2高增加2，面积为45，差为3；底减少3高增加3，面积为40，差为5；……
③平行四边形的底与高均为8时，面积为64；底减少1高增加1，面积为63，差为1；底减少2高增加2，面积为60，差为3；底减少3高增加3，面积为55，差为5；……
……
④一般地，当平行四边形的底和高均为n时，则其面积为n^2
若底减少1，高增加1，面积变为(n-1)(n+1)=n^2-1，比上一个面积少n^2-(n^2-1)=1；
若底减少2，高增加2，面积变为(n-2)(n+2)=n^2-4，比上一个面积少(n^2-1)-(n^2-4)=3；
若底减少3，高增加3，面积变为(n-3)(n+3)=n^2-9，比上一个面积少(n^2-4)-(n^2-9)=5；……。
所以原结论成立。

Answer 2

n^2
(n+1)(n-1)=n^2 - 1 ......上一个 与其的差为： 1
(n+2)(n-2)=n^2 - 2^2 ......上一个 与其的差为： 2^2 - 1 = 3
...
(n+m)(n-m)=n^2 - m^2 ...... 上一个 与其的差为：m^2-(m-1)^2 = 2m-1
...........
(n+n)(n-n)=n^2 - n^2=0 ...... 上一个 与其的差为：n^2-(n-1)^2 = 2n-1

所以 这么求得的差 所形成的序列为 1， 3， 。。。，2m-1, ...., 2n-1.

于是也得到：
1+ 3+ 。。。+ 2n-1 = n^2.