Question

已知直线y=-1^2x+2与椭圆x2/a2+y2/b2=1{a＞b＞0}相交于A、B两点，M为线段

AB的中点，若AB的绝对值为2√5，直线OM的斜率为1/2，求椭圆的方程

Answer 1

直线OM的方程是y=(1/2)x，
联立方程组y=(1/2)x与y=-(1/2)x+2，
解得x=2，y=1，∴M(2，1),
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，
∵|AB|=√[(1+1/4)(4²-4x1x2)]=2√5
,∴x1x2=0，不妨设x1=0，则x2=4，
将x1=0,x2=4分别代入y=-(1/2)x+2，得y1=2，y2=0,
∴A(0，2)，B(4，0)，
∵A、B是椭圆的顶点，
∴椭圆方程是x²/4+y²/2=1。