Question

高中数学双曲线题

已知点M是圆B:(x+2)^2+y^2=12上的动点,点A(2,0),线段AM的中垂线交直线MB于点P
(1)求点P的轨迹C的方程
(2)若直线L:y=kx+m(k≠0)与曲线C交于R,S两点，D(0,1),且有|RD|=|SD|，求m的取值范围

Answer 1

(1)由题意得|PM|＝|PA|，结合图形得||PA|－|PB||＝|BM|＝2，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝2，a＝1，c＝2，于是b＝√3，故P点的轨迹C的方程为x²－y²/3＝1.(2)当k≠0时，由得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，(*)由直线与双曲线交于R，S两点，显然1－3k2≠0，Δ＝(6km)2－4(1－3k2)(－3m2－3)＝12(m2＋1－3k2)＞0，设x1，x2为方程(*)的两根，则x1＋x2＝6km/(1-3k²)，设RS的中点为M(x0，y0)，则x0＝3km/(1-3k²)，y0＝kx0＋m＝1/(1-3k²)，故线段RS的中垂线方程为y－1/(1-3k²)＝.-1/k(x-3km/(1-3k²))将D(0，－1)代入化简得4m＝3k2－1，故m，k满足消去k2即得m2－4m＞0，即得m＜0或m＞4，又4m＝3k2－1≥－1，且3k2－1≠0，m≥－1/4，且m≠0，m∈[-1/4,0)∪(4，＋∞)．

Answer 2

解析：(1)由题意得|PM|＝|PA|，结合图形得||PA|－|PB||＝|BM|＝2，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝2，a＝，c＝2，于是b＝1，故P点的轨迹C的方程为

(2)当k≠0时，由得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，(*)由直线与双曲线交于R，S两点，显然1－3k2≠0，Δ＝(6km)2－4(1－3k2)(－3m2－3)＝12(m2＋1－3k2)＞0，
求得m∈∪(4，＋∞)．