Question

1+2分之1+1+2+3分之1

如图，
1+2分之1 +1+2+3分之1 +1+2+3+4分之1 +···+1+2+3+4+···+2014分之1=？

Answer 1

1+2分之1 +1+2+3分之1 +1+2+3+4分之1 +···+1+2+3+4+···+2014分之1
=2×3分之2＋3×4分之2＋4×5分之2+....+2014×2015分之2
=2× （2分之1-3分之1+3分之1-4分之1＋4分之1-5分之1＋.....+2014分之1-2015分之1）
=2× （2分之1-2015分之1）
=1-2015分之2
=2015分之2013

Answer 2

解：
1+2+3+……+n=n(n+1)/2
1/(1+2+3+……+n)=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)]
于是

原式
=2[1/2-1/(2+1)]+2[1/3-1/(3+1)]+2[1/4-1/(4+1)]+……+2[1/2004-1/(2004+1)]
=2[1/2-1/3]+2[1/3-1/4]+2[1/4-1/5]+……+2[1/2004-1/2005]
=2(1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/2004-1/2005)
=2(1/2-1/2005)
=1-2/2005
=2003/2005