Question

判断级数的敛散性，求指点！

Σ(n=1到正无穷)[ n^2 / (n+1)^ln(n) ] 用什么方法好？

Answer 1

是正级数，只需证明有上界以证明其收敛。
当 n>N = [e^4] 时， (n+1)^ln(n)> n+1)^4 > n^3 (n+1)==>
n^2 / (n+1)^ln(n) < n^2/( n^3 (n+1))= 1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)

于是
Σ(n=1到正无穷)[ n^2 / (n+1)^ln(n) ]

= Σ(n=1到 N )[ n^2 / (n+1)^ln(n) ] + Σ(n=N + 1]到正无穷)[ n^2 / (n+1)^ln(n) ]
< Σ(n=1到[e^4])[ n^2 / (n+1)^ln(n) ] + 1/N - 1/(N+1) + 1/(N+1) - 1/(N+2） + 。。。
< Σ(n=1到[e^4])[ n^2 / (n+1)^ln(n) ] + 1/N
所以收敛。

追问

推导的最后一步
原级数< Σ(n=1到[e^4])[ n^2 / (n+1)^ln(n) ] + 1/N
这个式子是有界的吗？为什么呢？
还有e^4不是整数，把级数拆成两部分不是应该取整的吗？

追答

[e^4]表示 e^4 的整数部分。 也可以放宽些，取N=3^4 = 81

Σ(n=1到[e^4])[ n^2 / (n+1)^ln(n) ] 只有有限项，

可以改成 Σ(n=1到81)[ n^2 / (n+1)^ln(n) ] 自然有界。

Answer 2

用根值审敛法，得
lim(n²)^(1/n)/(n+1)^[(lnn)/n]
=lim1/e^(lnn)
=0<1
所以
原来的级数收敛。

追问

请问？
由lim(n²)^(1/n)/(n+1)^[(lnn)/n]
到=lim1/e^(lnn)这一步是如何求得的？（洛必达？）
还有分母的e是怎么来的？

追答

lim(n->∞)(n+1)^[(lnn)/n]

=lim(x->+∞)e^[(lnx/x)*ln(x+1)]
=e^lim(x->+∞)[lnx*ln(x+1)]/x
=e^lim(x->+∞)ln(1+x)/x+lnx/(x+1)
=e^lim(x->+∞)1/(1+x)+1/x
=e^0
=1
我的方法错了，请采纳其他人的。

Answer 3

当n足够大时lnn>4
所以n^2/(n+1)^lnn<n^2/(n+1)^4~1/n^2
因为Σ1/n^2收敛
所以原级数收敛

追问

请问如果此题是考试时要求标准的解答，只要考虑lnn>4的情况就可以吗？
还要补充说明些什么？比如说去掉n不满足条件的有限项不改变敛散性，这要不要写？

追答

这种用等价无穷小的方法考虑的就是n->∞的情况，书上的定理也是直接通过同阶的无穷小直接判定敛散性。