Question

极限的唯一性

关于|a-b|=|（Xn-b）-（Xn-a)|≤|Xn-b|+|Xn-a|＜ε+ε=2ε 为这么这式就代表只有a=b时才成立，不懂

Answer 1

你只看两端
0<=|a-b|<2ε
因为ε可以任意小
所以令ε趋向于0
由夹逼原理
只可能
|a-b|=0
所以a=b

追问

但它不等于0阿

追答

但是只有0能小于任意小的数（注意ε的任意性）

另一种看法：
例如你有|a-b|>0
你可以令2ε=|a-b|/2
那么就有
|a-b|<|a-b|/2
即|a-b|/2<0
是矛盾的
所以只有|a-b|=0

追问

你的意思是|a-b|=2ε 但是ε是可以任意小的数，继而a与b就会无限接近。所以为之唯一？

追答

对的
没错
你这么认为是可以的

追问

非常感谢。

追答

不客气，觉得对了就采纳了吧~

Answer 2

可以用反证说明
假设|a-b|≠0，令ε=|a-b|/4
但|a-b|<2ε=|a-b|/2,矛盾，故假设不成立
所以|a-b|=0即a=b

追问

我觉得|a-b|小于|a-b|/2没错阿，没矛盾

追答

移项一下
|a-b|/2<0
矛盾

追问

非常感谢

Answer 3

|a-b| ≤ |a| - |b|，只有当a=b时等号才成立。

追问

你这什么意思= =，没有一定要取等号吧。

Answer 4

这里£是任意正数，比任意正数还要小的非负数只能是0,所以a-b=0