Question

已知定义域为d的函数f(x),如果对任意x1,x2∈D,存在正数K,都有|f(x1)-f(x2)|

已知定义域为d的函数f(x),如果对任意x1,x2∈D,存在正数K,都有|f(x1)-f(x2)|≤K|x1-x2|成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”。已知下列函数:①f(x)=√x,②f(x)=2的x次方，③f(x)=sinx+cosx,其中是“倍约束函数”的是?

Answer 1

解答如下
若想保证在定义域内存在|f(x1)-f(x2)|≤K|x1-x2|
即在定义域内存在满足|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|≤K，是k为固定正数即可
①|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|
=|√x1-√x2|/|x1-x2|
=|√x1-√x2|/|(√x1-√x2)(√x1+√x2)|
=1/|√x1+√x2|
因此它们的比值随x1与x2的增大而减小，随x1与x2的减小而增大，故不存在固定常数K满足上述要求

②|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|
=|2x1^2-2x2^2|/|x1-x2|
=2|x1+x2|
因此它们随x1与x2和的增大而增大，故不在存在满足条件的固定常数K

③f(x)=sinx+cosx
因为三角函数都存在极值，
故|f(x1)-f(x2)|也存在极值
那么只要K足够大，那么必然会满足|f(x1)-f(x2)|≤K|x1-x2|
故可以得出结论，即只要K足够大，任意的三角函数都能满足这个被约数函数的成立条件

因此此题选择③

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