Question

在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC 求b平方=ac

Answer 1

sinB(tanA+tanC)=sinB(sinA * cosC + cosA * sinC)/(cosA * cosC)
=sinB * sin(A+C)/(cosA * cosC)
=sinB * sin(π-B)/(cosA * cosC)
=(sinB)^2/(cosA * cosC)=sinA * sinC/(cosA * cosC)
所以：(sinB)^2=sinA * sinC
根据正弦定理有
(b/2R)^2=(a/2R) * (c/2R)
所以：b^2=a * c

Answer 2

∵sinB（tanA＋tanC）＝tanAtanC，
∴sinB（sinA/cosA＋sinC/cosC）＝sinAsinC/（cosAcosC），
∴sinB（sinAcosC＋cosAsinC）＝sinAsinC，
∴sinBsin（A＋C）＝sinAsinC，∴sinBsin（180°－B）＝sinAsinC，∴（sinB）^2＝sinAsinC。
结合正弦定理，容易得出：b^2＝ac。

Answer 3

sinB(tanA＋tanC﹚＝tanAtanC ∴sinB(sinA/cosA＋sinC/cosC﹚＝sinAsinC/cosAcosC
∴sinB(sinAcosC＋sinCcosA﹚/cosAcosC＝sinAsinC/cosAcosC
约掉分母再由正弦定理得b（acosC+ccosA）=ac
余弦定理b（a*（a²+b²-c²）/2ab+c*（c²+b²-a²）/2cb）=ac化简得b²=ac故等比

Answer 4

好吧。。