Question

y=1/x*cos1/x(x趋近0）为什么无界但不无穷大

Answer 1

因为y=1/x*cos1/x=cos（1/x）/x。

x趋于0时cos（1/x）和x都减小并趋于0，当cos（1/x）趋近于0的速度慢于x时，可以想象很久以后，分母将大于分子，这样它就越来越小。

如果趋近于0的速度相同，y=1/x*cos1/x（x趋于0）是一个常数。

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

这种题大多数人的答案都有问题。要用定义来做，但很多人不知道函数无界的定义。

取：x=1/(2kπ+π/2),k趋于无穷时，x趋于0，y趋于0，故y不是无穷大。

对任意正数M0>0，取2kπ>M0, x0=1/(2kπ),y(x0)=2kπ>M，故y无界。
所以：y=1/x*cos1/x(x趋近0）无界但不是无穷大

Answer 3

因为y=1/x*cos1/x=cos（1/x）/x
x趋于0时cos（1/x）和x都减小并趋于0，当cos（1/x）趋近于0的速度慢于x时，你可以想象很久以后，分母将大于分子，这样它就越来越小。如果趋近于0的速度相同，y=1/x*cos1/x（x趋于0）是一个常数。

追问

您好，如果cos1/x趋于0的速度大于x的话，分子不就大于分母了吗

Answer 4

因为cos无穷大的取值在-1到1变化，没有具体的值，如果取0那么y=0如果取1，那么y无穷大