Question

已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点A（-1,0），B（2，0），与y轴交于点C

（1）求这个二次函数的解析式，并指出二次函数图像的对称轴
（2）如在这条抛物线上有一点P,且点P的横坐标为-2，在x轴上有一点Q，使△BPQ和△ABC相似，求点Q的坐标

Answer 1

(1)由题意可设y=(x+1)(x-2)

                      y=x²-x-2

其对称轴是x=1/2

(2)

∵∠PBQ=∠ABC

∴BQ/BP=BA/BC或BQ/BP=BC/BA

BQ/4√2=3/2√2或BQ/4√2=2√2/3

解得BQ=6或BQ=16/3

∴Q:(-4，0)或Q(-10/3，0)

Answer 2

（1）
二次函数y=x^2+bx+c的图像经过点A（-1,0），B（2，0），所以
1-b+c=0
4+2b+c=0
解得b=-1，c=-2
解析式为y=x^2-x-2，C(0，-2)
——也可以y=x^2+bx+c=[x-(-1)](x-2)=x^2-x-2，所以b=-1，c=-2。
对称轴为x=1/2
（2）
设P(-2，m)，则m=4+2-2=4，即P(-2，4)
因为A(-1,0)、B(2，0)、C(0，-2)
所以∠ABC=45°，tan∠CAB=|OC|/|OA|=2，又∠ACB>∠OCB=∠ABC
又因为P(-2，4)，所以∠ABP=45°，∠ABP只有和∠ABC是对应角
①当Q(-2-2，0)即Q(-4，0)时，tan∠PQB=4/2=2
所以∠PQB=∠CAB，所以△QBP∽△ABC
②cos∠ACB=(|AC|^2+|CB|^2-|AB|^2)/(2|AC||CB|)
=[(1^2+2^2)+(2^2+2^2)-3^2]/[2√(1^2+2^2)√(2^2+2^2)]
=(5+8-9)/(4√10)
=(√10)/10>0
所以∠ACB是锐角
设Q(q，0)，q<-2
若∠ACB=∠PQB， 则cos∠PQB=(√10)/10
即1/√10=(-2-q)/√[(-2-q)^2+4^2]
解得q=-2-4/3=-10/3或q=-2+4/3=-2/3（舍）
所以Q(-10/3，0)
由①②得Q(-4，0)或Q(-10/3，0)时，△BPQ和△ABC相似。