Question

微积分问题

Answer 1

令x＝sinθ，则：√（1－x^2）＝√［1－（sinθ）^2］＝cosθ，θ＝arcsinx，dx＝cosθdθ。
∴原式＝∫［cosθ/（2sinθ＋cosθ）］dθ。
引入辅助角α，使cosα＝2/√5、sinα＝1/√5，则：α＝arcsin（1/√5）。
∴原式
＝（1/√5）∫［cosθ/（sinθcosα＋cosθsinα）］dθ
＝（1/√5）∫［cosθ/sin（θ＋α）］dθ
＝（1/√5）∫［cos（θ＋α－α）/sin（θ＋α）］d（θ＋α）
＝（1/√5）∫｛［cos（θ＋α）cosα＋sinθ（θ＋α）sinα］/sin（θ＋α）｝d（θ＋α）
＝（1/√5）cosα∫［cos（θ＋α）/sin（θ＋α）］d（θ＋α）＋（1/√5）sinα∫d（θ＋α）
＝（1/√5）×（2/√5）∫［1/sin（θ＋α）］d［sin（θ＋α）］＋（1/√5）×（1/√5）（θ＋α）
＝（2/5）ln｜sin（θ＋α）｜＋（1/5）（θ＋α）＋C
＝（2/5）ln｜sinθcosα＋cosθsinα｜＋（1/5）θ＋C
＝（2/5）ln｜（2/√5）x＋（1/√5）√（1－x^2）｜＋（1/5）arcsinx＋C
＝（2/5）ln｜2x＋√（1－x^2）｜－2ln（√5）＋（1/5）arcsinx＋C
＝（2/5）ln｜2x＋√（1－x^2）｜＋（1/5）arcsinx＋C