Question

求lim(x趋于0）cos[x的(1/(1-cosx)次方]

Answer 1

如果没有理解错题目的话

lim cos(x^[1/(1-cosx)])
根据复合函数的极限运算：lim(x→x0) f(g(x))=f(lim(x→x0) g(x))
=cos(lim x^[1/(1-cosx)])

现在考虑
lim x^[1/(1-cosx)]
=lim e^ln(x^[1/(1-cosx)])
=lim e^ [ lnx / (1-cosx) ]
根据复合函数的极限运算：lim(x→x0) f(g(x))=f(lim(x→x0) g(x))
=e^ lim lnx / (1-cosx)

现在再考虑
lim lnx / (1-cosx)
利用等价无穷小：1-cosx~x^2/2
=lim lnx / x^2/2
=2*lim lnx / x^2趋于负无穷（因为lnx趋于负无穷，x^2趋于0）

故，
e^ lim lnx / (1-cosx)=0（e的负无穷次方=0）

故，
lim cos(x^[1/(1-cosx)])
=cos 0
=1

即，原极限为1

希望你能看明白，有不懂欢迎追问