Question

理论力学

9 － 6 　车轮的质量为m ，沿水平路面作匀速运动，如图所示。路面有一凹坑，其形状由方程y=q(1-cos(2πx/l))/2 确定。路面和车轮均看成刚体。车厢通过弹簧给车轮以压力F ，求车子经过凹坑时，路面对车轮的最大和最小约束力。

Answer 1

由：车轮的运动轨迹方程与凹坑一致为：y=q(1-cos(2πx/l))/2
故对函数两边求导：
dy/dt=（2πδsin(2πx/l)/2l）dx/dt
由车轮在水平方向做匀速运动。故有：dx/dt=v
则有：vy=2πvδsin(2πx/l)/2l=πvδsin(2πx/l)/l
再求导得：
dvy/dt=(2π^2vδcos(2πx/l)/l^2)dx/dt=2π^2v^2δcos(2πx/l)/l^2
则有车轮的垂直加速度为：ay=2π^2v^2δcos(2πx/l)/l^2
设：地面对车轮的约束力为：Fn，Fn沿垂直和水平方向分解为：Fy，Fx
则有：Fy=F+mg+aym=F+mg+2mπ^2v^2δcos(2πx/l)/l^2
而车轮在水平方向匀速运动，则有：Fx=0
故有：Fn=Fy=F+mg+2mπ^2v^2δcos(2πx/l)/l^2
显然：当：x=l/2时，cos(2πx/l)=-1，
此时车轮受到的约束力最小为：Fnmin=F+mg-2mπ^2v^2δ/l^2
当：x=l 时，cos(2πx/l)=1，
此时车轮受到的约束力最大为：Fnmax=F+mg+2mπ^2v^2δ/l^2