Question

一做简谐运动的单摆,摆球m=0.2kg,摆长为2m,最大摆角为5度,g=10m/s2 求:(1)单摆最大重力势能和最大速度

(2)当重力势能为动能的2倍时,摆角多少度?

Answer 1

一.应先说以轨道最低点为0势能面
E=mgL(1-cos5) = 4(1-cos5)
E=mv^2 *1/2 V=根号下40(1-cos5)
二 E1为当时重力势能 所以 E1+1/2 E1 = E 所以E1= 8(1-cos5)/3
因为E1=mgL(1-cosX) 得cosX=(1+2cos5)/3
所以X角= arccos(1+2cos5)/3

Answer 2

在没有说明重力势能的零点（参考面）位置时，一般是以地面或该装置的最低点作为零势面。
本题是以最低点为零势面的。
m=0.2千克,摆长L＝2米,最大摆角为θ＝5度＝5*π/180 弧度＝(π/36）弧度

（1）当单摆运动到最高点时，重力势能最大。
最大重力势能是　Ep大＝mgh＝mgL*（1－cosθ）
由于θ很小，所以　1－cosθ＝2*[sin(θ/2)]^2≈2*(θ/2)^2＝θ^2 / 2
（注意：这里θ单位要用“弧度”）
即　Ep大＝mgL*θ^2 / 2＝0.2*10*2*(π/36)^2 / 2＝0.01523焦耳
　　当单摆在最低点时，速度最大。
由机械能守恒　得　Ep大＝m*V大^2 / 2
最大速度是　V大＝根号（2*Ep大 / m）＝根号（2*0.01523 / 0.2）＝0.39 m/s
（2）设摆角是α时，重力势能为动能的2倍。
即　mg*L*（1－cosα）＝2*Ek
由机械能守恒　得　Ep大＝Ek＋mg*L*（1－cosα）
所以有　Ep大＝1.5*mg*L*（1－cosα）≈1.5*mg*L*α^2 / 2　　（α很小，α的单位用“弧度”）
即　0.01523＝1.5*0.2*10*2*α^2 / 2
得　α＝0.03186弧度＝0.03186*180 / π 度＝1.83度