Question

什么是数学归纳法

Answer 1

数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。 已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是 n^2。 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成: 递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。 递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。 不要把整个第二步称为归纳假设。) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定： 第一张骨牌将要倒下。 只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒。 那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。 数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是被规定了的(参见皮亚诺公理第五条)。但是它可以用一些逻辑方法证明；比如，如果下面的公理： 自然数集是有序的 被使用。 注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化。更确切地说，两个都是等价的。 用数学归纳法进行证明的步骤： （1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； （2）（归纳递推）假设 时命题成立，证明当 时命题也成立；证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论； （3）下结论：命题对从 开始的所有正整数 都成立。 注： （1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可； （2）在第二步中，在递推之前， 时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对 的正确性可以传递到 时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题对 成立），就可以知道命题对 也成立，进而再由第二步可知 即 也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于 的正整数都成立.在这一步中， 时命题成立，可以作为条件加以运用，而 时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将 代入命题. 例子： 比如证明：1+2+3+4+……+n=n*(n+1)/2 先证明n=1时成立，n=1时，左式=1，右式=1*(1+1)/2=1,左右相等，证明，当n=1时，等式成立。 假设n=n时，等式成立，只要再证明n=n+1时，等式成立，则说明n=任何自然数时，等式都成立。（因为n=1成立，那么如果n=1+1也成立，就说明n=2时也成立，如果n=2成立 ，那么如果n=2+1也成立，就说明n=3时也成立，如果n=n时成立，那么如果n=n+1时成立，那么说明n+1时，等式也成立。） 当n=n时，1+2+3+…+n=n*(n+1)/2,(假设的) 当n=n+1时，左式=1+2+3+…+n+（n+1）=n*(n+1)/2+（n+1）， 经过分解因式、合并同类项，得到（n+1）* （n+1+1）/2，是不是等于（n+1）*[（n+1）+1]这个公式呢？ 于是推出，当n=n+1时，等式成立。 所以等式在任何自然数下都成立。 还不明白？因为n=1成立，n=2=1+1也能证明成立，……，n=n+1成立，所以么…… 参考资料： http://baike.baidu.com/view/284458.htm

Answer 2

　　数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。
　　

Answer 3

这个一般应用于数列方面。第一种是证明题，步骤一般如下，首先证明第一项满足证明，再假设第k项也满足，再用这个假设的条件去证明第k+1项也满足，综上任意一项都满足证明，命题得证；第二种是求通向公式，你先写出前几项，然后你会发现这几项都满足某一个通向公式，接着你就猜想这个数列的通向公式就是这个，最后证明，步骤同上。数学归纳法用处真的很大，最好能够提前自学。