Question

已知关于X的方程（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0（k≤3）

已知关于X的方程（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0（k≤3）（1）求证方程实数根（2）当方程有两个实数根且两实数根的平方和等于4是求K值

Answer 1

(1).⊿=[-2(k-1)]^2-4(k-2)(k+1)
=4[(k-1)^2-(k-2)(k+1)]
=4[k^2-2k+1-(k^2-k-2)]
=4(k^2-2k+1-k^2+k+2)
=4(3-k)
因为k≤3,所以3-k≥0,
故方程有实数根。
(2).设两根为x1,x2,
则 x1x+2=2(k-1)/(k-2) ,x1x2=(k+1)/(k-2)
x1^2+x2^2=4
4=x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4[(k-1)/(k-2)]^2-2(k+1)/(k-2)
即得 4[(k-1)/(k-2)]^2-2(k+1)/(k-2)=4
2(k-1)^2-(k+1)(k-2)=2(k-2)^2
2(k-1)^2-(k+1)(k-2)-2(k-2)^2=0
2(k^2-2k+1)-(k^2-k-2)-2(k^2-4k+4)=0
-k^2+5k-4=0
k^2-5k+4=0
(k-4)(k-1)=0
k=1,k=4,
因为k≤3,所以k=1.
当方程有两个实数根且两实数根的平方和等于4时，k的值为1.