Question

速度!跪求求函数y=x+根号下1-2x的值域

我要各种方法的，要过程，本人值域这里学的不好，请不要跳步，O(∩_∩)O谢谢大家

Answer 1

y=x+(1-2x)^0.5
定义域1-2x≥0 x≤1/2
一
(1-2x)^0.5=t t≥0
1-2x=t^2
x=(1-t^2)/2
y=(1-t^2)/2+t
=-2(t^2-2t-1)
=-2(t-1)^2+1
t=1时 y有最大值=1
值域 y≤1
二
(y-x)^2=1-2x
x^2-2(y-1)x+y^2-1=0
判别式4(y-1)^2-4(y^2-1)≥0
-2y+2≥0
y≤1
值域 y≤1
三
y=x+(1-2x)^0.5
y'=1-1/(1-2x)^0.5
令y'=0
1-1/(1-2x)^0.5=0
1-2x=0
x=0
y''=1/2(1-2x)^(3/2)>0
x=0 时y为最大值=1
值域 y≤1

Answer 2

关键是根号的处理。
法一）代换法，令t=√(1-2x)>=0, 则x=(1-t^2)/2
代入得：y=(1-t^2)/2+t=(1-t^2+2t)/2=[2-(t-1)^2]/2=1-(t-1)^2/2
因为t>=0, 所以当t=1时（此时x=0)，y取最大值1.所以值域为y<=1
法二)直接配方法，这得要将√(1-2x)看成是一项，实质与方法一是一样的。
y=[2x+2√(1-2x)]/2=[(2x-1)+2√(1-2x)+1]/2=-[√(1-2x)^2-2√(1-2x)+1-2]/2=-[√(1-2x)-1]^2/2+1<=1

Answer 3

换元法设T=根号下1-2x然后用T代数式表示X，转化成Y是T的函数，用配方法求最值，要注意T是大于或等于0