Question

初中一道较难的数学题，急求！！

如图，平行四边形ABCD,M和N分别在BA,DC延长线上,AN平分∠BAD交BC于E，CM平分∠BCD，交AD于F，如果BF⊥MC，求证ABEF为菱形。
不知道别吵

Answer 1

证明：因为ABCD是平行四边形
所以AD=BC
AB=DC
角BAD=角BCD
AB平行DC
AF平行BE
所以角EAD=角AEB
因为AN平分角BAD
所以角EAD=角BAE=1/2角BAD
所以角BAE=角AEB
所以AB=BE
因为CM平分角BCD
所以角BCF=1/2角BCD
所以角AEB=角BCF
所以AE平行MC
所以AB/BM=BE/BC
所以BM=BC
所以三角形BMC是等腰三角形
因为BF垂直MC
所以BF是三角形BMC的中线
所以MF=CF
因为AB平行DC
所以角M=角FCD
角MAF=角D
所以三角形AMF和三角形DCF全等（AAS)
所以AF=DF=1/2AD=1/2BC
所以AF=BE
因为AF平行BE（已证）
所以四边形ABEF是平行四边形
因为AB=BE(已证）
所以四边形ABEF是菱形

Answer 2

证明：∵AN平分∠BAD交BC于E，CM平分∠BCD，交AD于F
∴∠FAE=∠BAE,∠ABF=∠EBF
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠FAB+∠ABE=180º, AF//BE
∴∠FBA+∠BAE=90º ，,∠ABF=∠EBF=∠BFA
∴AE⊥BF, AB＝AE
设AE交BF于点O,则由ASA可知⊿ABO≌⊿EBO
∴BE=BA=AF
∴四边形ABEF是平行四边形
∴四边形ABEF是菱形。

Answer 3

你好，跟你共同探讨一下这道题。
设AE、BF交于点G，
1、由AN平分∠BAD-----∠BAE=∠EAF，由AF//BE-----∠BAE=∠AEB，故AB=BE；
2、由AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，易证AE//FC；又BF⊥MC，故BF⊥AE；即BG为等腰三角形ABE的高，可知∠FBE=∠FBA。
3、由AF//BE-----∠FBE=∠BFA，又∠FBE=∠FBA，故∠BFA=∠FBA-----AB=AF；
4、由（1）（3）结论，得BE=AF，又AF//BE-----ABEF为平行四边形，又AB=BE，故其为菱形。

Answer 4

这个题关键条件是BF垂直于MC
解法如下：
因为BF⊥MC，所以∠FBC+∠FCB=90度
因为AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，又因为ABCD是平行四边形
所以AN平行于CM,所以∠AEB=∠FCB
所以∠FBC+∠AEB=90度
所以AE⊥BF
所以ABEF是菱形

追问

AE⊥BF后怎么可能就直接可以ABEF是菱形，应该还要证ABEF是平行四边形，我就是不会证ABEF是平行四边形

Answer 5

ABCD是平行四边形
AD=BC，AB=DC，角BAD=角BCD，AB平行DC，AF平行BE
所以角EAD=角AEB
因为AN平分角BAD
所以角EAD=角BAE=1/2角BAD
所以角BAE=角AEB
所以AB=BE
因为CM平分角BCD
所以角BCF=1/2角BCD
所以角AEB=角BCF
所以AE平行MC
所以AB/BM=BE/BC
所以BM=BC
所以三角形BMC是等腰三角形
因为BF垂直MC
所以BF是三角形BMC的中线
所以MF=CF
因为AB平行DC
所以角M=角FCD
角MAF=角D
所以三角形AMF和三角形DCF全等（AAS)
所以AF=DF=1/2AD=1/2BC
所以AF=BE
因为AF平行BE
所以四边形ABEF是平行四边形
因为AB=BE
所以四边形ABEF是菱形

Answer 6

解：
因为BF⊥MC，所以∠FBC+∠FCB=90度
因为AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，又因为ABCD是平行四边形
所以AN平行于CM,所以∠AEB=∠FCB
所以∠FBC+∠AEB=90度
所以AE⊥BF
所以ABEF是菱形