Question

复合函数的二阶导数与普通函数二阶导数的表达式的差异问题

y=f(u),u=g(x)与y=f(u)[u非中间变量]，分别二阶求导后，两者表达式有差异，是什么原因导致的？求用图像具体解释，注意，我只要问在图像上的差异！！！

Answer 1

两者根本不是同一种函数，所以不要说二阶求导后图像的差异，连最开始的图像都是完全不一样的

因为图像的横轴和纵轴表现的是因变量与自变量之间的对应关系

前者，y=f[g(x)]表达的是y与x之间的关系，y与x间的这种对应关系是由函数f与g所确定的某两种特定的函数形式复合而成的一种全新的关系，比方 x+1  与x²复合而成的（x+1）²这个表达式

后者，y=f（u），u就是自变量，那么图像应该是横轴为u，纵轴为y的一幅图，它和y=f（x）图像的区别只是横轴上的字母不同，而图像形状完全一样

• 所以总结来说，y=f[g(x)]表达的是某个自变量x通过g与f两种函数形式的复合得到y的过程

      y=f（u）表达的是某个自变量u通过f这一层变化得到y的过程

  它们的图像，可以有关系，比方f（x）与f（x+1），也可以完全没关系（只需要内层函数复杂点）

  
  

• 啰嗦这么多，想说的是，从上面的分析可以看出，研究图像是很没意义的，尤其内层函数复杂的情况下，最重要的，是理解中间的逻辑关系！

附：

f[g(x)]整体一次求导结果应为：f′[g(x)]·g′(x)

f[g(x)]整体二次求导结果应为：f″[g(x)]·g′(x)·g′(x)+f′[g(x)]·g″(x)

再附：

f[g(x)]整体求导与f′[g(x)]的区别在于：前者是把g（x）代入f（u），再对x求导

                                                         后者是f（u）对u求导，再令u=g（x）代入

         两者差别可以举一些具体的例子感受一下。。

Answer 2

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