Question

证明:函数分f(x)=√x²+1 -x 在其定义域为减函数

任取实数x1,x2且x1<x2.
f(x1)-f(x2)= [√(x1²+1)-x1]-[√(x2²+1)-x2]
=[√(x1²+1)- √(x2²+1)]+[ x2-x1]
=[(x1²+1)- (x2²+1)]/ [√(x1²+1)+√(x2²+1)] +[ x2-x1]
= (x1²- x2²) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)] +[ x2-x1]
=(x1- x2){ (x1+ x2) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]-1}
=(x1- x2) (x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]
∵x1<x2 ∴x1- x2<0
又x1≤|x1|=√x1²<√(x1²+1),同理x2<√(x2²+1)
x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)<0.
所以(x1- x2) (x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]>0
∴函数f（x)=√(x²+1)-x在其定义域内为减函数。

为什么确定X1+X2≥0？

Answer 1

证明过程中没有确定X1+X2≥0
f(x1)-f(x2)= [√(x1²+1)-x1]-[√(x2²+1)-x2] 代入函数式
=[√(x1²+1)- √(x2²+1)]+[ x2-x1] 将根式分出来
=[(x1²+1)- (x2²+1)]/ [√(x1²+1)+√(x2²+1)] +[ x2-x1] 分子有理化
= (x1²- x2²) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)] +[ x2-x1]
=(x1- x2){ (x1+ x2) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]-1} 分子分解因式，提取公因式
=(x1- x2) (x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)] 上面大括号内通分
后面说明x1- x2<0，x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)<0.，加之[√(x1²+1)+√(x2²+1)]>0
得到f(x1)-f(x2)>0
完成证明。
理解了吧！

Answer 2

根据f(x)的定义域，我们知道x1,x2都是大于等于零的所以两个相加仍然大于等于零