Question

高等数学难题！！！

Answer 1

 

没做出来，差了一点点，你参考一下。。

Answer 2

把f(x)分别在x=0和x=c处泰勒展开到二阶导数，f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(ξ1)x^2/2，f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(ξ2)(x-c)^2/2，分别在0到c上积分，得∫f(x)dx=f(0)c+f'(0)c^2/2+f''(ξ1)c^3/6，∫f(x)dx=f(0)c-f'(0)c^2/2+f''(ξ2)c^3/6，两式相加得∫f(x)dx=(c/2)[f(0)+f(c)]+(c^2/4)[f'(0)-f'(c)]+(c^3/6)[f''(ξ1)+f''(ξ2)]，这里要用到关于导函数的两个重要的结论，就是导函数一定具有介值性及“拉格朗日中值定理”，而不要求导函数连续，就是说f'(b)-f'(a)=f''(ζ)(b-a)，并且f'(x)可以取到f'(a)和f'(b)之间的任意值，而不要求f'(x)在[a,b]上有连续性。利用这两个性质，f'(0)-f'(c)=f''(ζ3)(0-c)，f''(ξ1)+f''(ξ2)=f''(ζ4)/2，代人积分表达式中有∫f(x)dx=(c/2)[f(0)+f(c)]-(c^3/4)f''(ζ3)+(c^3/12)f''(ζ4)，再对-(c^3/4)f''(ζ3)+(c^3/12)f''(ζ4)这一部分用介值定理，有-(c^3/4)f''(ζ3)+(c^3/12)f''(ζ4)=(1/2)(-c^3/4+c^3/12)f''(ζ)=-(c^3/12)f''(ζ)，带回即可。

追问

好像不对

追答

啊，不好意思，有个地方写错了。∫f(x)dx=(c/2)[f(0)+f(c)]+(c^2/4)[f'(0)-f'(c)]+(c^3/12)[f''(ξ1)+f''(ξ2)]，是除12不是除6。关于最后那个介值定理再解释一下，设a<c<b，则存在m属于(a,b)使得f(m)=[pf(a)+rf(c)+qf(b)]/(p+q+r)。对-(c^3/4)f''(ζ3)+(c^3/12)[f''(ξ1)+f''(ξ2)]这一部分使用导函数的介值定理，这里r=-c^3/4，p=q=c^3/12，因此p+q+r=-c^3/12，因此存在ξ使得(-c^3/12)f''(ξ)=-(c^3/4)f''(ζ3)+(c^3/12)[f''(ξ1)+f''(ξ2)]，这次没错了，，，呵呵。