Question

请问n阶行列式定义公式是怎么得来的呢？哪本书有证明过程么？

如下图所示n阶行列式定义，看了很多书上都只写了公式却没给出公式的推导过程，从网上、书上找了很长时间都没找到答案，不知道哪位能不能给出推导过程或者哪本书上有推导过程推荐下也行，感激不尽！

Answer 1

现行大学教材的定义方法普遍是用逆序数来定义每一项然后得出行列式的定义！其实，我本人也一直好奇，这究竟是怎么想到的，不过，鉴于所学尚浅，后来就搁置一旁，等到有时间，估计需要翻翻数学史才行！如果记得不错的话好像有本书叫《代数的历史》，是图灵的书，曾经在那里看到过行列式相关的内容。而且，你的提问是有问题的，定义不存在证明一说，你见过哪一个定义被证明过吗？定义只有合理不合理，同一个概念可以从不同的角度给出等价的定义，但是，不能证明！

Answer 2

2x2行列式的可视化(几何)意义是其对应矩阵表示的线性变化后一组新的基向量(就是矩阵的列向量)围成的平行四边形与原坐标基围成的平行四边形的面积之比，当原坐标基可以用单位矩阵列向量表示，这个比值数值上等于面积(因为原基围成1x1的正方形。同理，3x3行列式值表示体积之比，更高维度的抽象类推吧，我暂时也不敢瞎起名字。至于为什么是这个意义，我觉得可以由向量叉乘理解一下，高维的我没试过，对于二维，参与叉乘的向量合并成矩阵求它的行列式与求这两个向量的叉乘是一样的计算过程，而叉乘数值上就等于向量围成的平行四边形的面积(在三维及以上的空间还反映出垂直于这两个向量的方向，当你赋予这个方向上的“高”(比如把i，j，k换成确定的数字，行列式就变成体积的意义)，叉乘的几何意义有多种直观的图示，我觉得这应该是每一项形式为什么取不同行不同列的根源。至于符号……
逆序和符号啥的应该是跟空间的取向性有关，就像手性(右手法则)，逆序数应该代表着基被交换了，你用手性测试一下发现任意基交换，空间的取向会改变。当取向符合右手法则为正，否则为负。
感谢一下外国团队1blue3brown团队所做的线性代数的视频以及译者(强烈安利)……我这里表述的不清楚的话，他们的视频理由更直观的表现，b站里就有。真的很用心的视频。
我可能说的也不严谨，不过我特别想称赞你提出了这个问题，我学线性代数也有这个问题，但不知道是不是因为不是数学专业老师不给讲，在网上查了也没有。要是有严谨的证明我也想看到……

Answer 3

a[ij]表示它的第i行 第j列元素.
求和表示 所有取自不同行,不同列的n个元素的乘积的代数和.
j1j2....jn表示下标的n阶排列,当为偶排列时，表示正号，奇排列表示负号
至于怎么得到，这是行列式的定义吧.....

追问

这个定义的意思我是知道的，但是它既能能够用来解决齐次线性方程组，应该不是偶然得来的吧，包括采用奇排列、偶排列来确定符号，应该都是有原因的！

Answer 4

线性代数，上书店找找吧，大学的课程

追问

线性代数、高等代数看了一堆了

追答

那就找找专业书籍看看吧，上淘宝淘淘看有没有
我要是没记错的话上海一个出版社的线性代数挺不错的