这题的 答案我都看不懂，帮我解答xia !
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（1）
B是AX+XA=D的解
所以AB+BA=D
两边转置
BTAT+ATBT=DT
因为AT=A,DT=D
所以BTA+ABT=D
所以BT也是方程AX+XA=D的解
又因为B是唯一解
所以B=BT即B是实对称矩阵
（2）
因为AB+BA=D
令X≠0
所以XT(AB+BA)X=XTDX
XTABX + XTBAX=XTDX
所以
XTATBX+XTBTAX=XTDX
令Y1=AX,Y2=BX
则Y1TY2+Y2TY1
因为Y1TY2=Y2TY2=XTDX / 2>0
(都是Y1,Y2的内积)
所以Y1TY2=XTATBX=XT(AB)X>0
所以AB正定
因为A正定，所以A的特征值全为正
而A^(-1)的特征值全为A的特征值的倒数，即A^(-1)的特征值全为正
所以A^(-1)正定
因为AB正定，所以存在可逆矩阵P使PTP=AB
所以PBP^(-1)
=P (A^(-1)AB) P^(-1)
=P A^(-1)PTP P^(-1)
=P A^(-1) PT
所以A^(-1)正定，而P A^(-1) PT与A^(-1)合同，故正定
而B与P A^(-1) PT 相似
即B与P A^(-1) PT 的特征值相同
所以B的特征值也全为正
所以B为正定矩阵
B是AX+XA=D的解
所以AB+BA=D
两边转置
BTAT+ATBT=DT
因为AT=A,DT=D
所以BTA+ABT=D
所以BT也是方程AX+XA=D的解
又因为B是唯一解
所以B=BT即B是实对称矩阵
（2）
因为AB+BA=D
令X≠0
所以XT(AB+BA)X=XTDX
XTABX + XTBAX=XTDX
所以
XTATBX+XTBTAX=XTDX
令Y1=AX,Y2=BX
则Y1TY2+Y2TY1
因为Y1TY2=Y2TY2=XTDX / 2>0
(都是Y1,Y2的内积)
所以Y1TY2=XTATBX=XT(AB)X>0
所以AB正定
因为A正定，所以A的特征值全为正
而A^(-1)的特征值全为A的特征值的倒数，即A^(-1)的特征值全为正
所以A^(-1)正定
因为AB正定，所以存在可逆矩阵P使PTP=AB
所以PBP^(-1)
=P (A^(-1)AB) P^(-1)
=P A^(-1)PTP P^(-1)
=P A^(-1) PT
所以A^(-1)正定，而P A^(-1) PT与A^(-1)合同，故正定
而B与P A^(-1) PT 相似
即B与P A^(-1) PT 的特征值相同
所以B的特征值也全为正
所以B为正定矩阵
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11111
2024-12-31 广告
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