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高等数学微分方程,求助大侠!
二阶常系数线性齐次微分方程中当将征方程的两个根相等时,y1=e^r1xy2=xe^rx,问y2是如何求出的,网上都说用常数变异法,请问怎么求?谢谢大虾们了。...
二阶常系数线性齐次微分方程中当将征方程的两个根相等时,y1=e^r1x y2=xe^rx,问y2是如何求出的,网上都说用常数变异法,请问怎么求?谢谢大虾们了。
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为什么大家都不认真看书呢,这个书上应该有吧?
这个不是常数变易法,是构造法。
设原微分方程是:y''+ay'+by=0,现已知y1=e^(rx)是方程的一个解,下面求另一个解,由于另一个解y2与y1=e^(rx)线性无关,因此设:y2/y1=u(x),即:y2=ue^(rx)
令其满足原微分方程,我们来求u即可,
先求y2=ue^(rx)的一二阶导数
[ue^(rx)]'=u'e^(rx)+rue^(rx)
[ue^(rx)]''=[u'e^(rx)+rue^(rx)]'=u''e^(rx)+2rue^(rx)+r²e^(rx)
将y2=ue^(rx)代入原方程:
u''e^(rx)+2rue^(rx)+r²ue^(rx) + a[u'e^(rx)+rue^(rx)] + bue^(rx)=0
消去e^(rx),整理得:u''+(2r+a)u'+(r²+ar+b)u=0 (1)
由于r²+ar+b是特征多项式,r是特征根,因此r²+ar+b=0
由于r是r²+ar+b=0的重根,因此r=-a/2,则2r+a=0
因此(1)化为:u''=0
因此u为一次函数或常数,由前面的题设知,u不是常数,因此u是一次函数,也就是说,当u取任意一个一次函数时,ue^(rx)均是微分方程的一个解,我们这里需要一个特定的u,因此取一次函数中最简单的一个,u=x,得方程的另一个解为:y2=xe^(rx)
希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢。
这个不是常数变易法,是构造法。
设原微分方程是:y''+ay'+by=0,现已知y1=e^(rx)是方程的一个解,下面求另一个解,由于另一个解y2与y1=e^(rx)线性无关,因此设:y2/y1=u(x),即:y2=ue^(rx)
令其满足原微分方程,我们来求u即可,
先求y2=ue^(rx)的一二阶导数
[ue^(rx)]'=u'e^(rx)+rue^(rx)
[ue^(rx)]''=[u'e^(rx)+rue^(rx)]'=u''e^(rx)+2rue^(rx)+r²e^(rx)
将y2=ue^(rx)代入原方程:
u''e^(rx)+2rue^(rx)+r²ue^(rx) + a[u'e^(rx)+rue^(rx)] + bue^(rx)=0
消去e^(rx),整理得:u''+(2r+a)u'+(r²+ar+b)u=0 (1)
由于r²+ar+b是特征多项式,r是特征根,因此r²+ar+b=0
由于r是r²+ar+b=0的重根,因此r=-a/2,则2r+a=0
因此(1)化为:u''=0
因此u为一次函数或常数,由前面的题设知,u不是常数,因此u是一次函数,也就是说,当u取任意一个一次函数时,ue^(rx)均是微分方程的一个解,我们这里需要一个特定的u,因此取一次函数中最简单的一个,u=x,得方程的另一个解为:y2=xe^(rx)
希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢。
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y1=e^r1x 是解,Ce^r1x 也是解,将C变为C(x),假定另一解为y2=C(x)e^r1x ,
y2'=e^r1x(c'(x)+r1C(x))
y2''=e^r1x(c''(x)+2r1C'(x)+r1^2C(x))
代入微分方程并化简得:C''(x)+(2r1+p)C'(x)+(r1^2+pr1+q)C(x)=0
∵r1^2+pr1+q=0 2r1+p=0
∴ C''(x)=0 C'(x)=1 C(x)=x
从而:y2=C(x)e^r1x =xe^r1x
y2'=e^r1x(c'(x)+r1C(x))
y2''=e^r1x(c''(x)+2r1C'(x)+r1^2C(x))
代入微分方程并化简得:C''(x)+(2r1+p)C'(x)+(r1^2+pr1+q)C(x)=0
∵r1^2+pr1+q=0 2r1+p=0
∴ C''(x)=0 C'(x)=1 C(x)=x
从而:y2=C(x)e^r1x =xe^r1x
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y''+by'+cy=0 特征方程的两个根相等为r 则x²+bx+c=(x-r)²=x²-2rx+r²
y''-2ry'+r²y=0
(y'-ry)'=r(y'-ry)
令u=y'-ry,则u'=ru [uexp(-rx)]'=[u'-ru]exp(-rx)=0 所以uexp(-rx)=C
y'-ry=Cexp(rx)
[yexp(-rx)]'=[y'-ry]exp(-rx)=C
yexp(-rx)=Cx+D
y=(Cx+D)exp(rx)
其中C,D为任意常实数
y''-2ry'+r²y=0
(y'-ry)'=r(y'-ry)
令u=y'-ry,则u'=ru [uexp(-rx)]'=[u'-ru]exp(-rx)=0 所以uexp(-rx)=C
y'-ry=Cexp(rx)
[yexp(-rx)]'=[y'-ry]exp(-rx)=C
yexp(-rx)=Cx+D
y=(Cx+D)exp(rx)
其中C,D为任意常实数
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