Question

高等数学微分方程，求助大侠！

二阶常系数线性齐次微分方程中当将征方程的两个根相等时，y1=e^r1x y2=xe^rx，问y2是如何求出的，网上都说用常数变异法，请问怎么求？谢谢大虾们了。

Answer 1

为什么大家都不认真看书呢，这个书上应该有吧？
这个不是常数变易法，是构造法。

设原微分方程是：y''+ay'+by=0，现已知y1=e^(rx)是方程的一个解，下面求另一个解，由于另一个解y2与y1=e^(rx)线性无关，因此设：y2/y1=u(x)，即：y2=ue^(rx)
令其满足原微分方程，我们来求u即可，
先求y2=ue^(rx)的一二阶导数
[ue^(rx)]'=u'e^(rx)+rue^(rx)
[ue^(rx)]''=[u'e^(rx)+rue^(rx)]'=u''e^(rx)+2rue^(rx)+r²e^(rx)
将y2=ue^(rx)代入原方程：
u''e^(rx)+2rue^(rx)+r²ue^(rx) + a[u'e^(rx)+rue^(rx)] + bue^(rx)=0
消去e^(rx)，整理得：u''+(2r+a)u'+(r²+ar+b)u=0 (1)
由于r²+ar+b是特征多项式，r是特征根，因此r²+ar+b=0
由于r是r²+ar+b=0的重根，因此r=-a/2，则2r+a=0
因此（1）化为：u''=0
因此u为一次函数或常数，由前面的题设知，u不是常数，因此u是一次函数，也就是说，当u取任意一个一次函数时，ue^(rx)均是微分方程的一个解，我们这里需要一个特定的u，因此取一次函数中最简单的一个，u=x，得方程的另一个解为：y2=xe^(rx)

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

Answer 2

y1=e^r1x 是解，Ce^r1x 也是解，将C变为C(x)，假定另一解为y2=C(x)e^r1x ，
y2'=e^r1x(c'(x)+r1C(x))
y2''=e^r1x(c''(x)+2r1C'(x)+r1^2C(x))
代入微分方程并化简得：C''(x)+(2r1+p)C'(x)+(r1^2+pr1+q)C(x)=0
∵r1^2+pr1+q=0 2r1+p=0
∴ C''(x)=0 C'(x)=1 C(x)=x
从而：y2=C(x)e^r1x =xe^r1x

Answer 3

y''+by'+cy=0 特征方程的两个根相等为r 则x²+bx+c=(x-r)²=x²-2rx+r²
y''-2ry'+r²y=0
(y'-ry)'=r(y'-ry)
令u=y'-ry,则u'=ru [uexp(-rx)]'=[u'-ru]exp(-rx)=0 所以uexp(-rx)=C
y'-ry=Cexp(rx)
[yexp(-rx)]'=[y'-ry]exp(-rx)=C
yexp(-rx)=Cx+D
y=(Cx+D)exp(rx)
其中C，D为任意常实数