已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过M(1,4√2/3),N(-3√2/2,√2)

(1)求椭圆的离心率;(2)在椭圆上是否存在点P(x,y)到定点A(a,0)(其中0<a<3)的距离的最小值为1?若存在,求出a的值及P点的坐标;若不存在,说明理由... (1)求椭圆的离心率 ;
(2)在椭圆上是否存在点P(x,y)到定点A(a,0)(其中0<a<3)的距离的最小值为1?
若存在,求出a的值及P点的坐标;若不存在,说明理由
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西域牛仔王4672747
2012-10-20 · 知道合伙人教育行家
西域牛仔王4672747
知道合伙人教育行家
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毕业于河南师范大学计算数学专业,学士学位, 初、高中任教26年,发表论文8篇。

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(1)设椭圆方程为 mx^2+ny^2=1 ,
将已知点的坐标代入可得 m+32n/9=1 ;9m/2+2n=1 ,
解得 m=1/9 ,n=1/4 ,
因此椭圆方程为 x^2/9+y^2/4=1 ,
由于 a^2=9 ,b^2=4 ,所以 c^2=a^2-b^2=5 ,
则离心率 e=c/a=√5/3 。
(2)设 P(3cosθ ,2sinθ )是椭圆上任一点,
则 |PA|^2=(a-3cosθ)^2+(2sinθ)^2
=a^2-6acosθ+9(cosθ)^2+4(sinθ)^2
=5(cosθ)^2-6acosθ+a^2+4
=5(cosθ-3a/5)^2+4-4a^2/5 ,
因为 0<a<3 ,
所以若 0<a<=5/3 ,则当 cosθ=3a/5 时有最小值 4-4a^2/5=1 ,解得 a=√15/2 ,
但 此时 a>5/3 ,因此无解;
若 5/3<a<3 ,则当 cosθ=1 时,有最小值 5-6a+a^2+4=1 ,解得 a= 2 (舍去 4),
此时 P 坐标为 (3,0),
所以,存在 P(3,0)到 A(2,0)的距离最小为 1 。
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