Question

已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过M(1,4√2/3),N(-3√2/2,√2)

(1)求椭圆的离心率 ；
(2)在椭圆上是否存在点P(x,y)到定点A(a,0)(其中0<a<3)的距离的最小值为1?
若存在,求出a的值及P点的坐标;若不存在,说明理由

Answer 1

（1）设椭圆方程为 mx^2+ny^2=1 ，
将已知点的坐标代入可得 m+32n/9=1 ；9m/2+2n=1 ，
解得 m=1/9 ，n=1/4 ，
因此椭圆方程为 x^2/9+y^2/4=1 ，
由于 a^2=9 ，b^2=4 ，所以 c^2=a^2-b^2=5 ，
则离心率 e=c/a=√5/3 。
（2）设 P（3cosθ ，2sinθ ）是椭圆上任一点，
则 |PA|^2=(a-3cosθ)^2+(2sinθ)^2
=a^2-6acosθ+9(cosθ)^2+4(sinθ)^2
=5(cosθ)^2-6acosθ+a^2+4
=5(cosθ-3a/5)^2+4-4a^2/5 ，
因为 0<a<3 ，
所以若 0<a<=5/3 ，则当 cosθ=3a/5 时有最小值 4-4a^2/5=1 ，解得 a=√15/2 ，
但 此时 a>5/3 ，因此无解；
若 5/3<a<3 ，则当 cosθ=1 时，有最小值 5-6a+a^2+4=1 ，解得 a= 2 （舍去 4），
此时 P 坐标为 （3，0），
所以，存在 P（3，0）到 A（2，0）的距离最小为 1 。