Question

定积分∫[a,x]tf(t)dt导数怎么求?答案是xf(x)-1/2∫[a,x]tf(t)dt

Answer 1

你这题目有问题
∫[a,x]tf(t)dt的导数就是xf(x)

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• ∫[0,x]tf(t)dt的积分才是xf(x)，但是现在下线不是0,是a.
  

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你去看看莱布尼兹公式，下限时任意常数

追问

我知道莱布尼兹公式里面b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），但是这里的t是变量呀，t不是常数。

追答

唉，被积函数tf(t)不就是g(t)吗？
在证明莱布尼兹公式时，用了一个结论：{∫[a,x]f(t)dt}‘=f(x)
那现在被积函数是tf(t) ：{∫[a,x]tf(t)dt}‘=xf(x)

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汤家凤说是：xf(x)-1/2∫[a,x]tf(t)dt。-_-。sorry！你不要嫌我烦。

追答

不管是谁说，导数{∫[a,x]tf(t)dt}‘=xf(x)是绝对正确的。你再看看原题目。
我真不知道莫名其妙有个-1/2∫[a,x]tf(t)dt

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原题：设f(x)属于C[a,b]且f(x)单调增加；
证明：∫[a,x]xf(x)dx≥[（a+b）/2]∫[a,b]f(x)dx

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下午来解决

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好的，谢谢你。

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恐怕是证明：∫[a,b]xf(x)dx≥[（a+b）/2]∫[a,b]f(x)dx,下面写详细点
证明：设F(x)=∫[a,x]tf(t)dx-[(a+x)/2]∫[a,x]f(t)dt
则：F‘(x)=xf(x)-(1/2)∫[a,x]f(t)dt-(a+x)/2*f(x)
=(1/2)[2xf(x)-(a+x)f(x)-∫[a,x]f(t)dt]
=(1/2)[(x-a)f(x)-∫[a,x]f(t)dt]
=(1/2)[∫[a,x]f(x)dt-∫[a,x]f(t)dt] (第1个积分对t来讲，f(x)是常数）
=(1/2)[∫[a,x](f(x)-f(t))dt]
由于a《t《x，f(x)单调增加，f(x)-f(t)》0，所以：F‘(x)》0
故F(x)单调增加,F(b)》F(a)=0
即：∫[a,b]tf(t)dt≥[(a+b)/2]∫[a,b]f(t)dt
或：∫[a,b]xf(x)dx≥[（a+b）/2]∫[a,b]f(x)dx

注：事实上已证明当x》a时，∫[a,x]xf(x)dx≥[(a+x)/2]∫[a,x]f(x)dx

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1. 嗯，对的，是你写的那个证明，我打错字了，不好意思。

2. 首先非常感谢你的解答，写的很详细，但是很抱歉，我后面都懂的，就是F‘(x)=xf(x)-(1/2)∫[a,x]f(t)dt-(a+x)/2*f(x)中的“(1/2)∫[a,x]f(t)dt”怎么导出来的不懂，我前面问问题的时候也是想问这个问题。
   

   难道是我最近看书做题头晕了，很简单的求导我都不会了？

   “老师，您能告诉我这个导数(1/2)∫[a,x]f(t)dt”是怎么导出来的？⊙︿⊙
   

   
   

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F(x)=∫[a,x]tf(t)dx-[(a+x)/2]∫[a,x]f(t)dt
∫[a,x]tf(t)dx的导数是xf(x)
[(a+x)/2]∫[a,x]f(t)dt是乘积的导数：
=[(a+x)/2] ‘ ∫[a,x]f(t)dt+[(a+x)/2] (∫[a,x]f(t)dt)'
=(1/2)∫[a,x]f(t)dt+[(a+x)/2] f(x）