Question

【加急】已知如图△ABC中,∠ABC=45°,AD是BC边上的高,在AD上取一点E,使DE=DC,延长BE交AC于点F.求证BF⊥AC

已知
如图△ABC中,∠ABC=45°,AD是BC边上的高，在AD上取一点E，使DE=DC,延长BE交AC于点F.
求证BF⊥AC
有答案的快一点20.00之前

Answer 1

证明：连接CE

Rt△BDE和Rt△ADC中：
∠ABC=45°：BD=AD

DE=DC

∠BDE=∠ADC

所以：Rt△BDE≌Rt△ADC

所以：

∠DBE=∠DAC

因为：∠BED=∠AEF（对顶角相等）

所以：△BDE∽△AFE

所以：∠BDE=∠AFE=90°

所以：BF⊥AC

追问

不做辅助线呢

追答

呵呵，本题不需要做辅助线，是我解题习惯性给作了一下辅助线......

追问

那怎么做

追答

证明：

Rt△BDA中：

∠ABC=45°，∠BDA=90°

所以：BD=AD

Rt△BDE和Rt△ADC中：
BD=AD

DE=DC

∠BDE=∠ADC

所以：Rt△BDE≌Rt△ADC（边边角）

所以：

∠DBE=∠DAC

因为：∠BED=∠AEF（对顶角相等）

所以：△BDE∽△AFE（角角）

所以：∠BDE=∠AFE=90°

所以：BF⊥AC

Answer 2

∵∠ABC=45°
AD⊥BC
∴∠DAB=∠ABC=45°
即∠DAB=∠DBA=45°
∴AD=BD
∵DE=DC
∠ADC=∠BDE=90°
∴△ADC≌△BDE(SAS)
∴∠CAD=∠EBD
即∠FAE=∠EBD
∵∠AEF=∠BED
∴△AEF∽△BED
∴∠AFE=∠BDE=90°
即BF⊥AC

Answer 3

追问

这个我知道了，其他的方法呢