Question

高数中的无穷小

用无穷小的定义证明，当n无穷大的时候，n∧2/2∧n是无穷小

Answer 1

lim Xn=a: 对于任意的ε>0, 存在正整数N，当n>N时，有|Xn-a|<ε
该题利用2^n=(1+1)^n=C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)....................C(n,0)是组合数，表示n个中取0个
≥C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6
由|n²/2^n|<n²/[n(n-1)(n-2)/6]<6n²/[(n-2)³]<6n²/[0.1*n^3]=60/n........................n≥3
知对于任意的ε>0，要使
|n²/2^n-0|<ε
只需60/n<ε
即n>60/ε
所以对于任意的ε>0，取N=max{【60/ε】+1,3}，当n>N时，有
|n²/2^n-0|<60/n<ε
由定义可证n²/2^n是无穷小 .其中【】是取整函数！

Answer 2

n∧2/2∧n是 ∞/∞型，根据罗比塔法则，分别对分子分母求导可得到2n/n·2^(n-1)=1/2^(n-2)
当n→ ∞时，分母趋向于 ∞，则分式趋向于0