Question

已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1

已知f（x）是二次函数，对任意x属于R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1
（1）求f（x）的解析式
（2）当x属于[-2，1]时，y=f（x）的图像恒在f=-x+m的图像上方，求实数m的取值范围

请问后面恒成立改成有解的话
这样改怎么解、是不是M∈[-1,5]是否这个答案？
（2）问中、是f(x)=2x+M有解、、求实数M的取值范围

Answer 1

f(0)=1
设f(x)解析式f(x)=ax²+bx+1
f(x+1) -f(x)=-2x+1
a(x+1)²+b(x+1)+1-ax²-bx-1
=2ax+(a+b)=-2x+1
∴2a=-2
a+b=1
∴a=-1
b=2
解析式f(x)=-x²+2x+1
(2)
当x属于（-2,1）时，
f(x)在y=-x+m的图像上方
∴-x²+2x+1>-x+m
-x²+3x+1>m
g(x)=-x²+3x+1对称轴是x=3/2
∴g(x)最小值=g(-2)=-4-12+1=-15>m
m<-15

如果改成有解的话

-x²+3x+1=-x+m
x²-4x+m-1=0
在[-2，1]内有根

∵g(x)=x²-4x+m-1对称轴是x=2
在x=1的右侧
∴在[-2,1]内一定没有2根
∴在在[-2,1]内有1个零点
g(-2)*g(1)<=0
(4+8+m-1)(1-4+m-1)<=0
(m+11)(m-4)<=0
-11<=m<=4

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追问

那么如果改成f(x)=2x+M有解
算出来是....
思想方法是不是用分离变量算出来后、小于最大值即可？

追答

2x+m?

-x²+2x+1=2x+m
x²+1-m=0在[-2，1]有根

x²+1=m
∴x²+1的范围是[1,5]
∴m的范围是[1,5]
参变分离
你是对的
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