Question

设数列{an}的前n项和为sn,满足2sn=a(n+1)-2^(n+1)+1,n属于n*.且a1,a2+5,a3成等差数列。

解：（1）在2Sn=a<n+1>-2^(n+1)+1中，

令n=1得：2S1=a2-2²+1，

令n=2得：2S2=a3-2³+1，

解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13

又2（a2+5）=a1+a3

解得a1=1

（2）由2Sn=a<n+1>-2^(n+1)+1，

2S<n+1>=a<n+2>-2^(n+2)+1得a<n+2>=3a<n+1>+2^(n+1)，

又a1=1，a2=5 也满足a2=3a1+2，

所以a<n+1>=3an+2n对n∈N*成立

∴an+1+2^(n+1)=3（an+2^n），又a1=1，a1+2=3，

∴an+2^n=3^n，

∴an=3^n-2^n；

（3）
∵an=3^n-2^n=（3-2）[3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1）≥3^(n-1)

∴1/an ≤1/[3^(n-1)] ，

∴1/a1 +1/a2 +1/a3 +…+1/an ≤1+1/3 +1/3² +…+1/[3^(n-1)]=1×[1-(1/3)^n]/(1-1/3)＜3/2（我所要的帮助是，第三问看不懂！！！谁能解释下第三问这个解法的思路是什么？？？)

Answer 1

你好，
an=3^n-2^n=（3-2）[3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1）]
是代公式：
a^n-b^n=(a-b)*[a^(n-1)+a^(n-2)*b+a^(n-3)*b^2+a^(n-4)*b^3+...+a^(n-i)*b^(i-1)+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)]

Answer 2

(3)具体解法：
an=3^n-2^n
=（3-2）[3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1)]
=3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1)
∵3和2的任意次方都大于0，且n≥1
∴3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1) ≥3^(n-1)
∴an≥3^(n-1)
∴1/an ≤1/[3^(n-1)]
1/a1≤1/3^0,1/a2≤1/3^1,1/a3≤1/3^2,......,1/an≤1/[3^(n-1)]
∴1/a1 +1/a2 +1/a3 +…+1/an ≤1+1/3 +1/3² +…+1/[3^(n-1)]
1+1/3 +1/3² +…+1/[3^(n-1)]=1×[1-(1/3)^n]/(1-1/3)＜3/2
∴1/a1 +1/a2 +1/a3 +…+1/an ＜3/2

追问

大神求解释阿。。。在线等的
an=3^n-2^n
=（3-2）[3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1)]
=3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1)
这步不明白 啊 AN怎么变成后面的式子的

追答

根据公式：
a^n-b^n的展开式：
a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)*b+a^(n-3)*b^2+...+a^2*b^(n-3)+a*b^(n-2)+b^(n-1)]

Answer 3

原问：
1,求a1值。2，求{an}通项公式。3，证明对一切正整数n,有1/a1+1/a2+...+1/an<3/2。
第三问的解决过程如下：
令K=1/1+1/5+1/18.......+1/an
因为3^n-2^n>n*(n+1)成立(N>=2)
所以1/(3^n-2^n)<n*(n+1).
K<1+1/2*3+1/3*4+.........1/n*(n+1)
K<1+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)
.....1/n-1/(n+1)
K<3/2
所以1/a1+1/a2+...+1/an<3/2

Answer 4

这个嘛，我们在第二问中求出了an的通用公式啊，可以先求出an的最小值，倒过来不就是最大值啊an=3^n-2^n
=（3-2）[3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1)]
=3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1)
∵3和2的任意次方都大于0，且n≥1
∴3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1) ≥3^(n-1)
∴an≥3^(n-1)
∴1/an ≤1/[3^(n-1)]
1/a1≤1/3^0,1/a2≤1/3^1,1/a3≤1/3^2,......,1/an≤1/[3^(n-1)]
∴1/a1 +1/a2 +1/a3 +…+1/an ≤1+1/3 +1/3² +…+1/[3^(n-1)]
1+1/3 +1/3² +…+1/[3^(n-1)]=1×[1-(1/3)^n]/(1-1/3)＜3/2
∴1/a1 +1/a2 +1/a3 +…+1/an ＜3/2

追问

an=3^n-2^n
=（3-2）[3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1)]
=3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1)
就是这步啊。。。。怎么把AN变成后面的那一串的！！！求解释阿

追答

唉，这个就不知道啊，是等比数列公式代入法来求的啊，看来给你说半天都是无用功

Answer 5

∵an=3^n-2^n=（3-2）[3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2²+…+2^(n-1）≥3^(n-1)你这样看2^n=2*2^(n-1)<2*3^(n-1)
an=3^n-2^n>3*3^(n-1)-2*3^(n-1)