Question

初中最难数学题

设函数y1=ax²+4ax+2a+1与函数y2=【（x²-3x+2）（x²-7x+12）（x-5）】/（x²-6x+5），规定：一个函数与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点。（1）如果y1随x的增大而增大且y1有零点，求a和x的取值范围。（2）求y2的零点个数。

Answer 1

（1) 当a<0时，(4a)^2-4a(2a+1)>=0,解得a<=1/2;因为a<0,所以抛物线开口向下，对称轴为x=-2若要y1随x的增大而增大，只需x<-2;
当a=0时，y1=1,不成立；
当a>0时，(4a)^2-4a(2a+1)>=0,解得a<=1/2，因为a>0所以抛物线开口向上，x>-2
综上,a<0,x<-2或
0<a<=1/2,x>-2
(2)x²-6x+5不等于0，即x不等于5且x不等于1
x²-3x+2=0或x²-7x+12=0或x-5=0,解得x=1或2或3或4或5
综上，y2有3个零点

Answer 2

y1有零点说明 函数与x轴有交点 即ax²+4ax+2a+1=0有解
当 a＞0时 △=a（2a-1）＞＝0 a＞＝1/2
对称轴为 x=-2
当a＞＝1/2 x[-2,+∞]时y1随x的增大而增大
当a=0时 y1=1 不符合题意
当a＜0时 △=a（2a-1）＞＝0 a＜0
对称轴为 x=-2
当a＜0 x[-∞,-2]时y1随x的增大而增大

整理y2得
y2=(x-2)(x-3)(x-4)且 x≠1，x≠5
由题意的x=2,3,4为y2的零点
∴y2有3个零点个数

Answer 3

(1)16a^2-4a(2a+1)=8a^2-4a>=0 4a(2a-1)>=0 a<=0 或a>=1/2
若a<0 (a不能为0) y1=a(x^2+4x+4)-4a+2a+1=a(x+2)^2 -2a+1 这时x在区间(-无穷大，-2]
若a>=1/2 y1=a(x+2)^2-2a+1 这时x在区间[-2,+无穷大)
(2)y2=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) /(x-1)(x-5)
注意到x不能为1,5 所以零点有x=2 ,3,4共3个