Question

已知实数x,y满足x2+y2=4,则函数S=x2+y2-6x-8y+25 的最大值和最小值分别为

求过程

Answer 1

答：
x^2+y^2=4为原点圆心、半径r=2的圆

S=x^2+y^2-6x-8y+25
=(x-3)^2+(y-4)^2
表示圆心为（3,4）、半径R^2=S的圆
当两个圆相外切时，半径R最小
r+R=圆心距=5
所以：R=5-r=5-2=3
所以：最小值S=R^2=9

当两圆相内切时，半径R最大
R-r=圆心距=5
R=5+r=5+2=7
所以：最大值S=R^2=49

综上所述，S最大值为49，最小值为9

Answer 2

x^2+y^2=4
S=29-6x-8y
设x=2cosa y=2sina
S=29-12cosa -16sina
=29-4(3cosa+4sina)
=29-4*5 (3/5 cosa+4/5 sina)
=29-20 sin(a+k) (k=arcsin3/5)
所以最大值为29+20=49 最小值为29-20=9