认为自己高中数学强的来看看神题已知函数f(x)=lnx-a(x-1),

(1)讨论函数单调性(2)当x>=1时f(x)<=lnx/(x+1)恒成立求a的取值范围... (1) 讨论函数单调性
(2)当x>=1时f(x)<=lnx/(x+1)恒成立 求a的取值范围
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Tjwdetective
2012-10-23 · TA获得超过1085个赞
知道小有建树答主
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解:定义域 x>0,,f'(x)=1/x-a
1、①当a≤0时,f'(x)>0恒成立, f(x)在(0,+∞)上是增函数
②当a>0时,令 f'(x)>0,则 0<x<1/a,即 f(x)在(0,1/a)上是增函数,在(1/a,+∞)上是减函数
2、一、在①情况下,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
而f(x)<=lnx/(x+1)恒成立

可变形为a≥xlnx/(x^2-1),,但是x≥1,所以x>0,lnx>0,x^2-1>0,,所以xlnx/(x^2-1)>0,,即a>0,但是①情况下a≤0,,所以不符合条件。
二、在②情况下,f(x)在(0,1/a)上是增函数,在(1/a,+∞)上是减函数,,
可知f(x)有极大值f(1/a),令g(x)=lnx/(x+1)(x≥1),则g'(x)>0,g(x)在x≥1上单调递增
1)当1/a≤1,即a≥1时,f(x)在x≥1上有最大值f(1)=0,又g(x)min=0,故f(x)<=lnx/(x+1)恒成立
2)当1/a>1,即0<a<1时,f(x)在x≥1上有最大值f(1/a)=a-lna-1,若f(x)<=lnx/(x+1)恒成立,
则只需g(1/a)≥f(1/a),,即lna-a^2+1≥0。令h(a)=lna-a^2+1,(0<a<1),则h'(a)=1/a-2a
可求得h(a)在(0,1)上有
极大值h(√2/2)=ln(√2/2)-1/2=ln(√2/2)-ln(√e)=ln[√(1/2e)]<ln1=0
即h(a)在(0,1)上恒有h(a)<0 成立,
所以f(x)<=lnx/(x+1)在0<a<1,x≥1时不恒成立
综上所述,当x>=1时f(x)<=lnx/(x+1)恒成立 ,a的取值范围是 [1,+无穷)
好久没做高中的题了,步骤有省略的,在讨论时,你画个草图容易理解些、、、
侠大的
2012-10-19 · TA获得超过191个赞
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水货
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解:定义域 x>0
f'(x)=1/x-a
(1)a≤0,f'(x)>0恒成立,所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数
(2) a>0 f'(x)>0
1/x>a
0<x<1/a
所以 f(x)在(0,1/a)上是增函数
在(1/a,+∞)上是减函数
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