Question

求解 高等数学 导数相关的题。。

1.当K取何值时，分段函数：x不等于0时，f(x)=x的k次方乘以sin(1/x),，x等于0时，f(x)=0,。（K>0）在x=0可导?
2.为什么y=x^3的绝对值在x=0处不可导？可以用导数定义证明一下吗？
3.ln(x+根号下1+x^2) 的导数是什么？ 参考答案是 1/根号下1+x^2。这个求导有什么技巧吗，利用复合函数求导，我始终解不出参考答案来。。

Answer 1

1. 利用导数的定义
f'(0)=lim [f(x)-f(0)]/x=lim x^ksin(1/x)/x=lim x^(k-1)sin(1/x)
因为lim sin(1/x)不存在，但是sin(1/x)有界，所以必须乘上个无穷小才能有极限，因此要求x^(k-1)→0，即k-1>0，从而当k>1时函数在x=0点可导..............极限过程为x→0
2. 考虑lim [y(x)-y(0)]/x=lim |x³|/x
当x→0+时，lim |x³|/x=limx²=0
当x→0-时，lim |x³|/x=lim -x²=0
因为左右极限存在且相等，所以当x→0时，lim [y(x)-y(0)]/x存在，从而函数y=|x³|在x=0点可导！
可能你题目抄错了！
3.令t=x+(1+x²)^(1/2)
则 y=lnt,
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)
=(1/t)*{1+x/[(1+x²)^(1/2)]}
={1/[x+(1+x²)^(1/2)]}*{1+x/[(1+x²)^(1/2)]}
={1/[x+(1+x²)^(1/2)]}*{x+[(1+x²)]^(1/2)}÷[(1+x²)]^(1/2)
=1/{[(1+x²)]^(1/2)}
主要要理解复合函数的求导方法！由外及里，一层一层求导，不能漏掉某一项！

追问

第一题，为什么k=1不可以啊？

追答

k=1时
lim [f(x)-f(0)]/x=lim x^ksin(1/x)/x=lim x^(k-1)sin(1/x)=lim sin(1/x)不存在
所以f(x)在x=0点不可导

Answer 2

1.f(x)在0处可导，那么f(x)在0处必连续，x趋近于0时，x^ksin1/x=0 将乘x^k 化为除以1/x^k 得到(sin1/x)/（1/x^k) x趋近于0 ， 1/x 趋近于∞ 令t=1/x t趋近于∞时 sint/t^k 因为-1≤sint≤1 是个有界量 而t趋近于∞ 所以t^k趋近于∞ 那么k必须大于0
2.好像|x^3|是可导的吧 还是我理解错了
3.这个函数可以用复合函数求导法做的 很简单
lnu u=x+v v=√(1+x^2) 结果是
1/x+√(1+x^2) * (1+2x/2√(1+x^2)) 约分 通分 最后可以吧（x+√(1+x^2)） 约掉 。
打的很累的 你懂得

Answer 3

1. 利用导数的定义
f'(0)=lim [f(x)-f(0)]/x=lim x^ksin(1/x)/x=lim x^(k-1)sin(1/x)
因为lim sin(1/x)不存在，但是sin(1/x)有界，所以必须乘上个无穷小才能有极限，因此要求x^(k-1)→0，即k-1>0，从而当k>1时函数在x=0点可导..............极限过程为x→0
2. 考虑lim [y(x)-y(0)]/x=lim |x³|/x
当x→0+时，lim |x³|/x=limx²=0
当x→0-时，lim |x³|/x=lim -x²=0
因为左右极限存在且相等，所以当x→0时，lim [y(x)-y(0)]/x存在，从而函数y=|x³|在x=0点可导！
可能你题目抄错了！
3.令t=x+(1+x²)^(1/2)
则 y=lnt,
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)
=(1/t)*{1+x/[(1+x²)^(1/2)]}
={1/[x+(1+x²)^(1/2)]}*{1+x/[(1+x²)^(1/2)]}
={1/[x+(1+x²)^(1/2)]}*{x+[(1+x²)]^(1/2)}÷[(1+x²)]^(1/2)
=1/{[(1+x²)]^(1/2)}