Question

已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足在定义域内严格递增，对X>0均有F(X)*F(F(X)+1/X)=1求F(X)

错了，是求F（1）

Answer 1

x=1带入等式得
F(1)F(F(1)+1)=1
设F(1)=a,带入上式
aF(a+1)=1 其中a+1>0即 a>-1 条件1
得到F(a+1)=1/a
x=a+1带入F(X)*F(F(X)+1/X)=1,其中F(a+1)=1/a
得到1/a F[1/a+1/(a+1)]=1 其中1/a+1/(a+1)>0 条件2
整理得到F[1/a+1/(a+1)]=a
又因为f(1)=a ,f(x)是严格单调函数
所以1/a+1/(a+1)=1
整理得到a^2-a-1=0
解得 a=1/2 +√5/2 或者 1/2-√5/2 (不满足条件2,舍去)
所以f(1)=1/2 +√5/2